جواب کاردرکلاس صفحه 38 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس الف صفحه ۳۸ حسابان یازدهم سلام دانش‌آموزان عزیز! این فعالیت به شما کمک می‌کند تا رابطه بین **دامنه**، **برد** و **نمودار هندسی** یک تابع را به خوبی درک کنید. مهم است که بدانید شکل کلی ضابطه (مثلاً $y=۲x$ یا $y=x^۲$) شکل کلی نمودار را تعیین می‌کند، اما **دامنه** آن تعیین می‌کند که نمودار از کجا تا کجا وجود داشته باشد. ✏️ --- ## ۱. تشخیص نمودارها و تکمیل جدول ### الف. توابع خطی ($y = ۲x$) نمودارهای ردیف پایین، خطی هستند. شیب تمام آن‌ها ۲ است و از مبدأ (۰، ۰) می‌گذرند. تفاوت آن‌ها فقط در طول مرزهایشان است: | تابع | دامنه | برد (محاسبه) | نوع نمودار (شماره) | | :---: | :---: | :---: | :---: | | **$f(x) = ۲x$** | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ | خط راست نامحدود (پایین، **وسط**) | | **$g(x) = ۲x$** | $\{-۱, ۱, ۲\}$ | $\mathbf{\{-۲, ۲, ۴\}}$ (فقط نقاط) | فقط ۳ نقطه مجزا (پایین، **راست**) | | **$h(x) = ۲x$** | $(-۲, ۲]$ | $(۲(-۲), ۲(۲)] = \mathbf{(-۴, ۴]}$ | پاره‌خط، سر چپ خالی، سر راست پر (پایین، **چپ**) | * **توضیح $g(x)$**: مقادیر $y$ فقط برای $x=-۱, ۱, ۲$ محاسبه می‌شوند: $g(-۱)=-۲, g(۱)=۲, g(۲)=۴$. ### ب. توابع درجه دوم ($y = x^۲$) نمودارهای ردیف بالا، سهمی هستند که رأس آن‌ها در $(۰, ۰)$ است. تفاوت آن‌ها در محدودیت‌های دامنه‌شان است. | تابع | دامنه | برد (محاسبه) | نوع نمودار (شماره) | | :---: | :---: | :---: | :---: | | **$t(x) = x^۲$** | $\mathbb{R}$ | $[۰, +\infty)$ | سهمی نامحدود (بالا، **وسط**) | | **$s(x) = x^۲$** | $(-\infty, ۰]$ | $[۰, +\infty)$ | نیمه چپ سهمی (بالا، **چپ**) | | **$k(x) = x^۲$** | $[-\frac{۱}{۲}, ۲]$ | $[۰, ۴]$ | بخشی از سهمی (بالا، **راست**) | * **توضیح $k(x)$**: چون $x=۰$ در دامنه $[-\frac{۱}{۲}, ۲]$ وجود دارد، کمترین مقدار برد $k(۰)=۰$ است. بیشترین مقدار برد $k(۲)=۴$ است. مرز $\mathbf{x = -\frac{۱}{۲}}$ نیز به مقدار $k(-\frac{۱}{۲})=\frac{۱}{۴}$ می‌رسد، اما این مقدار کران بالا نیست. --- ## ۲. مقایسه شباهت‌ها و تفاوت‌های نمودارها ### شباهت‌ها 1. **ضابطه مشابه، شکل هندسی مشابه**: توابعی که ضابطه یکسان دارند ($f, g, h$ خط راست؛ $t, s, k$ سهمی)، **شکل هندسی** کلی نمودارشان یکسان است. 2. **تابع $y=۲x$**: تمام نمودارهای این دسته (ردیف پایین)، از مبدأ $(۰, ۰)$ می‌گذرند و دارای **شیب ثابت** ۲ هستند. 3. **تابع $y=x^۲$**: تمام نمودارهای این دسته (ردیف بالا)، دارای **رأس** مشترک $(۰, ۰)$ هستند. ### تفاوت‌ها 1. **پیوستگی و گسستگی**: تفاوت اصلی نمودارها به دلیل **دامنه** است. * $f, t$: دامنه‌ای پیوسته ($athbb{R}$) دارند و نمودارشان یک منحنی پیوسته است. * $h, s, k$: دامنه‌ای **محدود** دارند و نمودارشان فقط بخشی از منحنی اصلی است. * $g$: دامنه‌ای **گسسته** (فقط چند عدد) دارد و نمودار آن تنها شامل **نقاط مجزا** است. 2. **برد تابع**: محدودیت دامنه، مستقیماً بر **برد تابع** تأثیر می‌گذارد. به عنوان مثال، اگرچه $t(x)$ تمام مقادیر $[۰, \infty)$ را می‌گیرد، اما $k(x)$ فقط $[۰, ۴]$ را در بر می‌گیرد. 3. **نقاط مرزی**: در توابع پیوسته، دایره‌های **پر** (مثل $h(۲)=۴$ و $k(۲)=۴$) و **خالی** (مثل $h(-۲)=-۴$) نشان‌دهنده شمول یا عدم شمول نقاط مرزی دامنه هستند.